福建省专升本（高等数学）模拟试卷4

福建省专升本（高等数学）模拟试卷4

综合题

设平面图形D由曲线y＝e^x，直线y＝e及y轴所围成的，求:

1.平面图形D的面积．

曲线y＝e^x与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，平面图形D如图所示.

[*]

平面图形D的面积为

s＝∫₀¹(e－e^x)dx＝(ex－e^x)|₀¹＝1．

解析：

2.平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.

平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为

V_y＝π∫₁^e(lny)²dy＝π(lny)²y｜∫₁^e－π∫₁^e2lnydy

＝πe－2πy∫₁^elnydy

＝πe－2πylny｜₁^e＋2π∫₀^edy

＝πe－2πe＋2π(e－1)

＝π(e－2).

解析：

已知函数f(x)＝sin2x－x－1／6，0≤x≤π／2

3.求函数f(x)的单调区间、极值．

f’(x)＝2cos2x－1，令f’(x)＝0，则x＝π／6，

当0＜x＜π／6时，f’(x)＞0，当π／6＜x＜π／2时，f’(x)＜0，

所以函数在[0，π／6]上单调增加，在[π／6，π／2]上单调减少.

故x＝π／6是极大值点，极大值f(π／6)＝[*]

解析：

4.证明方程f(x)＝0有两个实根.

由题意知函数f(x)＝sin2x－x－1／6在区间[0，π／2]上连续，

且f(0)＝－1／6＜0，f(π／6)＞0，f(π／2)＝－π／2－1／6＜0.

所以f(0)f(π／6)＜0，f(π／6)f(π／2)＜0．

由零点定理可知f(x)＝0在(0，π／6)及(π／6，π／2)内各至少有1个实根.

函数在(0，π／6)内单调增加，在(π／6，π／2)内单调减少，

所以f(x)＝0在(0，π／6)及(π／6，π／2)内各只有一个实根，

即f(x)＝0在[0，π／2]上有2个实根.

解析：

选择题

5.已知函数f(x)＝x^1／2，则f(x)的定义城是( )(B)

A. (0，＋∞)

B. [0，＋∞)

C. (－∞，0)

D. (－∞，0]

解析：由f(x)＝x^1／2＝

6.当x→0时，(1＋x²)^k－1与1－cosx为等价无穷小，则k的值为( )(C)

A. 1

B. －1／2

C. 1／2

D. －1

解析：因为当x→0时，(1＋x²)^k－1～kx²，1－cosx～x²／2，两者等价，即

7.设函数f(x)＝(A)

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C. 连续点

D. 第二类间断点

解析：由题意得，＝0．

8.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其二阶导数f”(x)的图形如图所示，则曲线y＝f(x)的拐点的个数为( )

(D)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析：对于函数f(x)的定义城内的任何一点x₀，若在该点的两侧f\\

9.已知f(x)的一个原函数是x²，则∫f(x²)dx＝( )(B)

A. x²＋C

B. 2x³／3＋C

C. x³＋C

D. 3x²／2＋C

解析：由题意可知f(x)＝(x²)’＝2x，则f(x²)＝2x²，所以∫f(x²)dx＝∫2x²dx＝2x³／3＋C

10.(A)

A. 0

B. 1

C. 90

D. －90

解析：定积分的实质是一个常数，故

11.定积分∫_－a^a＝( )

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：令f(x)＝，则f(－

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