福建省专升本（高等数学）模拟试卷13

福建省专升本（高等数学）模拟试卷13

综合题

已知平面图形D由曲线y＝x²，直线y＝2－x及x轴所围成.求:

1.D的面积．

联立[*]可得两者在第一象限的交点为(1，1)，

所围平面图形D如图所示

[*]

所以D的面积为

[*]

解析：

2.D绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积．

平面图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为

V＝π∫₀¹x⁴dx＋π∫₁²(2－x)²dx

＝π．(x⁵／5)｜₀¹＋π(x＋2)³／3]｜₁²

＝π／5＋π／3＝8π／15．

解析：

设函数f(x)＝kx³－5x²＋7，k＞0.

3.当k＝1时，求f(x)在[0，4]上的最小值．

当k＝1时，f(x)＝x³－5x²＋7，f’(x)＝3x²－10x＝x(3x－10)，

令f’(x)＝0，解得x＝10／3或x＝0，

又f(0)＝7，f(10／3)＝－311／27，f(4)＝－9，

故f(x)在[0，4]上的最小值为f(10／3)＝－311／27．

解析：

4.若方程f(x)＝0在(－∞，＋∞)内有3个实根，求k的取值范围.

f(x)＝kx³－5x²＋7，f’(x)＝3kx²－10x＝x(3kx－10).

令f’(x)＝0，解得x＝0或x＝10／3k．

当x＞10／3k或x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜10／3k时，f(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0]，[10／3k，＋∞)上单调递增，在[0，10／3k]上单调递减，又因为f(－2)＝－13－8k＜0，f(0)＝7＞0，[*]＝＋∞，故若方程f(x)＝0有3个实根，根据零点定理可知需满足f(10／3k)＜0，即f(10／3k)＝(189k²－500)／27k²＜0，所以0＜k＜[*]

解析：

选择题

5.已知f(x)＝(D)

A. [3，4)

B. (4，6]

C. [3，5]

D. [3.6]

解析：当0≤x≤2时，3≤f(x)≤5；当2＜x≤4时，4＜f(x)≤6.由于分段函数的值城为各分段值域的并集，故f(x)的值域为[3，5]∪(4，6]＝[3，6].

6.当x→0时，下列等价无穷小关系成立的是( )(C)

A. log(1＋x)～ax／lna

B. 1－cosx～x／2

C. arctanx～x

D. e^2x－1～x²

解析：由常见的等价无穷小关系得，当x→0时，log_a(1＋x)～x／lna；1－cosx～x²／2，arctanx～x，e^2x－1～2x，故选C．

7.下列各组函数中表示同一函数的是( )

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：A项，y＝x²／x的定义域是x≠0，而y＝x的定义域是R，定义域不同；B项，y＝＝|x|≠x，对应法则不同；C项，y＝＝x，但定义域为x≥0，定义域不同；D项，y＝

8.下列命题错误的是( )(A)

A. 著函数在一点处没有定义，则在该点处的极限一定不存在

B. 若函数在一点处极限存在，则在该点处可能没有定义

C. 若函数在一点处左、右极限都存在且相等，则在该点处的极限一定存在

D. 若函数在一点处可导，则在该点处的左、右极限一定存在且相等

解析：函数在一点处极限是否存在与在该点处是否有定义无关，故A项错误，B项正确，函数在一点处极限存在的充要条件是在该点处左、右极限都存在且相等，故C项正确，函数在一点处可导，则在该点处一定连续，因此在该点处极限存在，即在该点处的左、右极限一定存在且相等，故D项正确.

9.曲线y＝x³＋1(B)

A. 无拐点

B. 有一个拐点

C. 有两个拐点.

D. 有三个拐点

解析：y’＝3x²，y”＝6x，令y”＝0，得x＝0，当x＜0时，y”＜0，当x＞0时，y”＞0，故(0，1)为曲线的一个拐点，本题选B

10.设x＝φ(y)是严格单调的连续函数y＝f(x)的反函数，且f(2)＝4，f’(2)＝－3，则φ’(4)＝( )(D)

A. －3

B. 1／4

C. －3／2

D. －1／3

解析：由反函数的导数性质可知φ’(y)＝1／f’(x)，而f(2)＝4，f’(2)＝－3，所以φ’(4)＝1／f’(2)＝－1／3．

11.下列函数中，在区间[－1，1]上不满足罗尔定理条件的是( )(C)

A. f(x)＝sin²x

B. C. f(x)＝ln|x|

D. f(x)＝x⁴／(1＋x²)

解析：因为C项中f(x)＝ln|x|在点x＝0处不连续，所以函数f(x)＝ln|x|在区间[－1，1]上不满足罗尔定理的条件，故应选C．

12.下列不等式成立的是( )(A)

A. ∫₀¹xdx＞∫₀¹x²dx

B.

本文档预览：3500字符，共7603字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载