福建省专升本（高等数学）模拟试卷2

福建省专升本（高等数学）模拟试卷2

综合题

曲线y＝x³(x≥0)，直线x＋y＝2以及y轴围成一平面图形D，

1.试求平面图形D的面积；

平面图形如图阴影部分所示，

[*]

所求面积为

S＝∫₀¹(2－x－x³)dx＝(2x－x²／2－x⁴／4)｜∫₀¹＝5／4．

解析：

2.试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

所求体积

[*]

＝3π／5＋π／3＝14π／15．

解析：

已知函数f(x)＝3x－1－∫₀^x

3.求f(x)在[0，1]上的最大值；

f(x)＝3x－1－[*]

f’(x)＝3－[*]

当0≤x≤1时，f’(x)＞0，故函数f(x)单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为

[*]

解析：

4.证明:方程f(x)＝0在区间(0，1)内有唯一实数根.

f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝2－π／4＞0，

所以由零点定理得至少存在一点ξ∈(0，1)，使f(ξ)＝0，

即方程f(x)＝0在(0，1)内至少有一个实数根.

又由(1)知f(x)在(0，1)内单调递增，

故方程f(x)＝0在(0，1)内有唯一实数根.

解析：

选择题

5.设f(x)在[a，b]上连续，f(a)≠f(b)，则在(a，b)内( )(B)

A. 函数f(x)必有最大值或最小值

B. 函数f(x)一定是有界的

C. 至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0

D. 至少存在一点ξ，便得f’(ξ)＝0

解析：根据闭区间上连续函数的性质知B选项正确.

6.(A)

A. 0

B. 1

C. －1

D. ∞

解析：因为x→0^＋时，→0，而|cos(1／x)|≤l，cos(1／x)为有界函数，利用无穷小与有界函数乘积仍为无穷小可得

7.当x→0时，下列无穷小量与x不等价的是( ).(D)

A. x－x²／2

B. e^x－2x³－1

C. ln(1＋x²)／x

D. sin(x＋sinx)

解析：，所以当x→0时，sin(x＋sinx)与x同阶但不等价，故选D

8.设f(x)＝(C)

A. 连续点

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 第二类间断点

解析：因为函数f(x)在x＝1处有定义，且

9.曲线y＝(x＋4)／(4－x)在点(2，3)处的切线斜率为( )(D)

A. 1

B. 1／2

C. －2

D. 2

解析：y’＝8／(4－x)²，则y’(2)＝2，故曲线在点(2，3)处的切线斜率为y’(2)＝2．

10.下列函数在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是( )(B)

A. y＝｜x｜，[－1，1]

B. y＝1／x，[1，2]

C. y＝arcsin2x，[－1，1]

D. y＝x／(1－x²)，[－2，2]

解析：A项，y在x＝0处不可导；C项，y在[－1，－1／2)，(1／2，1]上不连续；D项，y在x＝1／x处不连续；B项，y＝1／x在区间[1，2]上连续，在区间(1，2)内可导，满足拉格朗日定理的条件，故应选B

11.函数y＝2x²－lnx的单调递减区间为( )(A)

A. (0，1／2]

B. (－∞，1／2]

C. [1／2，＋∞)

D. [1／2，1／2]

解析：函数y的定义城为(0，＋∞)，y’＝4x－1／x＝(4x²－1)／x，令y’＜0，解得0＜x＜1／2，即y的单调递减区间为(0，1／2]，故应选A

12.下列不等式中不成立的是( )(D)

A. ∫₁²lnxdx＞∫₁²(lnx)²dx

B. ∫₀^π／2sinxdx＜∫₀^π／2xdx

C. ∫₀¹ln(1＋x)dx＜∫₀²xdx

D. ∫₀²e^xdx＜∫₀²(1＋x)dx

解析：A选项，当1≤x≤2时，0≤lnx≤ln2＜1，(lnx)²≤lnx，等号仅在x＝1处成立，由定积分的性质可得∫₁²lnxdx＞∫₁²(lnx)²dx．同理可证B、C选项正确.

D选项，∫₀²e^xdx＝e

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