福建省专升本（高等数学）模拟试卷7

福建省专升本（高等数学）模拟试卷7

综合题

设D是由曲线y＝x²与直线y＝ax(a＞0)所围成的平面图形，已知D分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求:

1.常数a的值．

由题意知，y＝x²与y＝ax(a＞0)的交点为(0，0)，(a，a²)，所围图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

V_x＝π∫₀^a(a²x²－x⁴)dx＝π(a²x³／3－x⁵／5)｜₀^a＝2πa⁵／15．

绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

[*]

因为D分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，则2πa⁵／15＝πa⁴／6，解得a＝5／4．

解析：

2.平面图形D的面积S.

S＝∫₀^5／4(5x／4－x²)dx＝(5x²／8－x³／3)｜∫₀^5／4＝125／384．

解析：

3.已知¹⁴C(放射性同位素碳-14)的衰变速度与它的现存量成正比，且它的半衰期(由初始量R₀衰变至R₀／2所需要的时间)为5730年，试求¹⁴C的现存量与时间1(年)的函数关系(其中涉及的对数不必写出具体数值).

设现存量为R，由于¹⁴C的衰变速度与它的现存量成正比，则衰变速度为dR／dt＝－kR，k＞0为常数．

对dR／dt＝－kR分离变量并积分可得∫1／R＝－∫kdt.

所以lnR＝－kt＋C，故R＝Ce^－kt

由题意可得[*]解得C＝R₀，k＝ln2／5730，

因此R＝[*]

解析：

选择题

4.函数f(x)＝2／(x－5)的定义域是( )(C)

A. (－∞，5)

B. (5，＋∞)

C. (－∞，5)∪(5，＋∞)

D. [5，＋∞)

解析：由x－5≠0解得x≠5，即函数的定义城是(－∞，5)∪(5，＋∞).

5.下列极限存在的是( )

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：显然只有

6.已知函数f(x)＝(D)

A. 连续

B. 左连续右不连续

C. 右连续左不连续

D. 既非左连续，也非右连续

解析：

7.设f(x)＝(A)

A. －1

B. 2

C. e

D. 0

解析：由于f(x)＝有可去间断点x＝2，故极限存在，又

8.设函数f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(3)－f(1)＝1，则在(1，3)内曲线y＝f(x)至少有一条切线平行于直线( )(C)

A. y＝2x

B. y＝－2x

C. y＝x／2

D. y＝－x／2

解析：由拉格朗日定理可得至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)＝

9.函数f(x)＝sinx＋1在[0，π／6]上的最大值为( )(D)

A. 0

B. 1／2

C. 1

D. 3／2

解析：由基本初等函数的单调性可知，f(x)在[0，π／6]上是单调递增的，所以f(x)的最大值在x＝π／6处取得，最大值为f(π／6)＝3／2．

10.函数y＝xe^－x的单调增加区间为( )(C)

A. (－∞，＋∞)

B. [1，＋∞)

C. (－∞，1]

D. [－1，1]

解析：函数y的定义城为R，y’＝e^－x＝－xe^－x＝e^－x(1－x)，令y’＞0，则x＜1，故函数的单调增加区间为(－∞，1].

11.不定积分∫|e^2－3xdx＝( )(A)

A. －e^2－3x／3＋C

B. e^2－3x／3＋C

C. －e^2－3x／3

D. e^2－3x／3

解析：∫e^2－3xdx＝－∫e^2－3xd(2－3x)／3＝－e^2－3x／3＋C

12.设y＝(B)

A. 0

B. 1

C. －1

D. 1

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