天津专升本高等数学（一元函数积分学）模拟试卷7

天津专升本高等数学（一元函数积分学）模拟试卷7

证明题

1.证明：方程

设[*]，x∈[0，1]，显然F(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=-1＜0，[*]

故由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，则原方程在(0，1)内至少有一个根；

又因为[*]，x∈(0，1)，故F(x)在区间[0，1]上单调增加，则F(x)=0在区间(0，1)内至多有一个根．

综上可得，方程[*]在区间(0，1)内有且仅有一个实数根

解析：

选择题

2.使广义积分(B)

A. (-∞，2]

B. (-∞，1]

C. [2，+∞)

D. [1，+∞)

解析：当k＞1时，，收敛；

当k=1时，，发散；

当k＜1时，，发散．

综上可得，

3.定积分(C)

A. B. C. π

D. 2π

解析：表示的是圆心在原点、半径为2的圆域在第一象限的面积，故

4.若f(x)为连续的奇函数，则∫¹_-1f(x)dx=( )(A)

A. 0

B. 2

C. 2f(-1)

D. 2f(1)

解析：因为f(x)是连续的奇函数，故由对称区间上定积分的性质可得∫¹_-1f(x)dx=0．

5.设φ(x)=∫x⁴₀tan(D)

A. tanx²

B. x⁴tanx²

C. 4x³sec²x²

D. 4x³tanx²

解析：φ’(x)=

6.设f(x)为连续函数，且∫^x₀f(t)dt=a^2x-1(a＞0且a≠1)，则f’(x)=( )(D)

A. 4a^2x

B. 2a^2xlna

C. 2xa^2x-1

D. 4a^2xln²a

解析：题中等式两边对x求导得f(x)=(a^2x-1)’=2a^2xlna，则f’(x)=(2a^2xlna)’=4a^2x(lna)²，故选D

7.若∫²₀(2x+k)dx=2，则k=( )(B)

A. 0

B. 1

C. -1

D. 1/2

解析：因为∫¹₀(2x+k)dx=x²｜¹₀+kx｜¹₀=1+k=2，所以k=1，故选B

8.已知函数f(x)在区间[0，2]上连续，且∫²₀xf(x)dx=4，则∫⁴₀(D)

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

解析：

9.使∫^+∞₁f(x)dx=1成立的f(x)可以为( )(A)

A. 1/x²

B. 1/x

C. e^-x

D. 解析：对于选项A，，故此积分收敛，且收敛于1；

对于选项B，，故此积分发散；

对于选项C，∫^+∞<

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