上海专升本高等数学（常微分方程）模拟试卷3

上海专升本高等数学（常微分方程）模拟试卷3

选择题

1.下列函数可以作为某个二阶微分方程的通解的是 ( )(B)

A. y=Csinx

B. y=C₁sin3x+C₂cos3x

C. y=sin3x+cos3x

D. y=(C₁+C₂)cosx

解析：二阶微分方程的通解中应含有两个相互独立的任意常数，故排除A、C、D项，选B

2.设y=y(x)是微分方程y\\(C)

A. 不存在

B. 0

C. 1

D. 2

解析：由于y=y(x)是方程的解，从而y(x)有二阶连续导数，注意到y(0)=0，y’(0)=1，则y\\

3.微分方程y’=e^3x/2y满足初始条件y｜_x=0=1的特解为 ( )

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：对方程分离变量可得2ydy=e^3xdx，两边积分得

代入初始条件y｜_x=0=1，得，所以C=2/3，故所求特解为

4.已知可导函数f(x)满足f(x)=4∫^x/2₀ f(2t)dt+ln2，则f(x)= ( )(B)

A. e^xln2

B. e^2xln2

C. e^x+ln2

D. e^2x+ln2

解析：由题意可得f’(x)=4f(x)·，令y=f(x)，即y’=2y，分离变量得

5.微分方程y\\(A)

A. y=C₁e^-3x+C₂e^-2x

B. y=C₁e^-3x+C₂e^2x

C. y=C₁e^3x+C₂e^-2x

D. y=C₁e^3x+C₂e^2x

解析：方程对应的特征方程为r²+5r+6=0，解得r₁=-3，r₂=-2，故原方程通解为y=C₁e^-3x+C₂e^-2x．

6.已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为r₁=-1，r₂=-3，则该微分方程为 ( )(D)

A. y\\

B. y\\

C. y\\

D. y\\

解析：由特征根的值可知微分方程对应的特征方程为(r+1)(r+3)=r²+4r+3=0，所以对应的二阶常系数齐次线性微分方程为y\\

7.微分方程y\\(C)

A. sin2x

B. C. 2xe^3x

D. 2e^3x

解析：方程的特征方程为r²-6r+9=(r-3)²=0，所以其特征根为r₁=r₂=3，二阶齐次方程对应的通解为y=(C₁+C₂x)e^3x，且y’=(3C₂x+3C₁+C₂)e^3x，由题意可得y’(0)=2，y(0)=0，代入可得C₁=0，C₂=2，故所求特解为y=2xe^3x．

填空题

8.微分方程xy\\

3

解析：微分方程的阶是指方程中未知函数的最高阶导数的阶数，故所给微分方程的阶数为3．

9.微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数若与微分方程的_________相同，则该解叫作微分方程的通解．

阶数

解析：由微分方程通解定义可知，通解中独立的任意常数的个数与微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．

10.微分方程cosydy=sinxdx的通解是__________．

siny+cosx=C

解析：对等式两边同时积分可得∫cosydy=∫sinxdx，则siny=-cosx+C，即siny+cosx=C

11.方程

[*]

解析：方程分离变量得，两边积分得，将y(1)=0代入得C=-1，所以满足初始条件的方程的特解为

12.微分方程

[*

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