考研数学二（解答题）模拟试卷370

考研数学二（解答题）模拟试卷370

解答题

1.计算

[*]

解析：

2.设函数

[*]

故[*]

解析：

3.已知r(α₁，α₂，…，α_s)=r(α₁，α₂，…，α_s，β)=k，r(α₁，α₂，…，α_s，β，γ)=k+1，求r(α₁，α₂，…，α_s，β－ξ)．

利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α₁，α₂，…，α_s线性表示．

由条件知，β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，γ不能用α₁，α₂，…，α_s，β线性表示，从而也就不能用α₁，α₂，…，α_s线性表示．于是β－γ不能用α₁，α₂，…，α_s线性表示．从而r(α₁，α₂，…，α_s，β－γ)=k+1．

解析：

4.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x，求f(x)．

∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x两边求导得

g[f(x)]f’(x)=(x²+2x)e^x，整理得f’(x)=(x+2)e^x，则f(x)=(x+1)e^x+C，

由f(0)=0得C=一1，故f(x)=(x+1)e^x一1．

解析：

5.设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ₁=λ₂=6是A的二重特征值。若α₁=(1，1，0)^T，α₂=(2，1，1)^T，α₃=(—1，2，—3)^T都是A的属于特征值6的特征向量。求A的另一个特征值和对应的特征向量。

由R(A)=2，知A的另一个特征值为λ₃=0。设λ₃对应的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，由题设知，α₁^Tx=0，α₂^T=0，即

[*]

解得此方程组的基础解系为x=(—1，1，1)^T，即A的属于特征值λ₃=0的全部特征向量为

k(—1，1，1)^T(k为任意非零常数)。

解析：

6.设

2A₁₁+A₁₂一A₁₃=2A₁₁+A₁₂一A₁₃+0A₁₄

[*]

解析：

7.

[*]

解析：

8.设D是由点O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算

将区域向x轴投影，

令D₁={(x，y)｜0≤x≤1，[*]≤y≤2x}，D₂=(x,y)｜1≤x≤2，[*]≤y≤3-x}，

则[*]

解析：

9.求函数y＝

由[*]

得χ＝－1，χ＝0．

当χ＜－1时，y′＞0；当－1＜χ＜0时，y′＜0；当χ＞0时，y′＞0，

y＝(χ－1)[*]的单调增区间为(－∞，－1]∪(O，＋∞)，单调减区间为[－1，0]，χ＝－1为极大值点，极大值为y(－1)＝－2[*]；χ＝0的极小值点，极小值为y(0)＝－[*]．

因为[*]＝∞，所以曲线y＝(χ－1)[*]没有水平渐近线；

又因为y＝(χ－1)[*]为连续函数，所以y＝(χ－1)[*]没有铅直渐近线；

[*]

得y＝χ－2为曲线的斜渐近线；

[*]

得y＝e^πχ－2e^π为曲线y＝(χ－1)[*]的斜渐近线．

解析：

10.设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫₀¹f(x)dx∫_x¹本文档预览：3000字符，共9578字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载