考研数学二（解答题）模拟试卷371

考研数学二（解答题）模拟试卷371

解答题

1.求极限：

原式＝[*]

解析：

2.求

[*]

解析：

3.证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量b^T，使A=ab^T．

充分性([*])：由A=ab^T得R(A)=R(ab^T)≤R(a)=1(因为a≠0)．又因为a,b是非零向量，

所以A=ab^T中至少有一个元素不为0，所以R(A)≥1，因此R(A)=1．

必要性([*])：由R(A)=1，设A为m×n阶，则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使

[*]

解析：

4.求

[*]

所以[*](sinχ)^ln(1+χ)＝1．

解析：

5.求

[*]

解析：

6.求

[*]．

解析：

7.设y=x²lnx，求y⁽ⁿ⁾

[*]

解析：

8.设f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫₀^xf(x)dt，求证：

(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数；

(Ⅱ)∫₀^xf(t)dt=

(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(x)=F(x)-kx以T为周期．由于

φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫₀^xf(x)dt-kx+∫₀^x+Tf(t)dt-kT

=φ(x)+∫₀^Tf(t)dt-kT，

因此，取k=[*]∫₀^Tf(t)dt，φ(x)=F(x)-kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时

F(x)=[ [*]∫₀^Tf(t)dt]x+φ(x).

(Ⅱ)不能用洛必达法则．因为[*]不存在，也不为∞．但∫₀^x(t)dt可表示成

∫₀^x(t)dt=[*]∫₀^Tf(t)dt+φ(x)．

φ(x)在(-∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(-∞，+∞)也有界．因此

[*]

(Ⅲ)因f(x)≥0，所以当nT≤x＜(n+1)T时，

n∫₀^Tf(t)dt=∫₀^nTf(t)≤∫₀^xf(t)＜∫₀^(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫₀^Tf(t)

解析：

9.二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求参数a及所用的正交变换。

二次型f的矩阵A=[*]。

根据题意可知，矩阵A的三个特征值分别为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5，于是由｜A｜=λ₁λ₂λ₃可得2(9—a²)=10，解得a=2或—2(舍)。

当λ₁=1时，解齐次线性方程组(E—A)x=0，得基础解系为ξ₁=(0，1，—1)^T；

当λ₂=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0，得基础解系为ξ₂=(1，0，0)^T；

当λ₃=5时，解齐次线性方程组(5E—A)x=0，得基础解系为ξ₃=(0，1，1)^T。

因为ξ₁，ξ₂，ξ₃已经是正交向量组，故只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，于是得

[*]

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