考研数学二（解答题）模拟试卷378

考研数学二（解答题）模拟试卷378

解答题

1.证明

先对积分∫_a¹[*]cosnxdx建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．

[*]

解析：

2.已知3阶矩阵A满足Aα_i=iα_i，i=1，2，3，其中α₁=(1，0，0)^T，α₂=(0，1，1)^T，α₃=(0，0，1)^T，试求矩阵A．

由题设，A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，2α₂，3α₃)，即[*]

解析：本题考查利用初等矩阵的逆矩阵和初等矩阵的作用化简计算．

3.求

[*]

解析：

4.设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A^m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．

可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，[*]A²x=λAx=λ²x，…，[*]A^mx=λ^mx，困A^m=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P^-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP^-1=O，这与A≠0矛盾．

解析：

5.设

[*]

解析：

6.设f(x)=

[*]

当α≤3时，f\\

解析：

7.设矩阵

(1)由｜λE一A｜=0，求A的全部特征值．

[*]得A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=1．

(2)由(λE一A)x=0，求A的特征向量．

对于λ₁=λ₂=一1，解线性方程组(-E-A)x=0，有[*]

要使矩阵A相似于对角矩阵，则对应于λ₁=λ₂=一1，必有两个线性无关的特征向量，所以r(-E-A)=3—2=1，从而有k=0．

于是当k=0时，有[*]

得对应的两个线性无关的特征向量为ξ₁=(一1，2，0)^T，ξ₂=(1，0，2)^T．

对于λ₃=1，解线性方程组(E-A)x=0，有[*]

得对应的线性无关的特征向量为ξ₃=(1，0，1)^T．因此，当k=0时，存在可逆矩阵[*]

解析：本题主要考查矩阵可相似对角化的问题，行列式的计算及特征值、特征向量的计算．先求出矩阵A的特征值，只有当矩阵A有3个线性无关的特征向量时，A才相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得P^一1AP为对角矩阵，其中P是以A的3个线性无关的特征向量构成的矩阵．

8.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f

不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，[*]＜0，令φ(x)=e^-xf(x)，则

φ’(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]．

因为φ(a)＞0，[*]

使得φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₂，ξ₂)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0，

即e^-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因为e^-ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)

解析：

9.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：

(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；

(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．

(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

(2)设F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F’(η)=[*]．η．f(η)=0，即ηf(η)+f’(η)=0．

解析：

10.求下列不定积分：

(Ⅰ)被积函数中含有两个根式[*]与[*]，为了能够同时消去这两个根式，令χ＝t⁶．则

[

本文档预览：3000字符，共7367字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载