考研数学二（解答题）模拟试卷393

考研数学二（解答题）模拟试卷393

解答题

1.求极限ω=

属∞-∞型．先作变量替换并转化成[*]型未定式，然后用洛必达法则．

[*]

解析：

2.求下列极限

(Ⅰ)因为

[*]

(Ⅱ)因为

[*]

(Ⅲ)因为

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(Ⅳ)利用定积分的定义可得

[*]

(Ⅴ)利用定积分的定义可得

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(Ⅵ)利用定积分的定义可得

[*]

解析：

3.设f(x；t)=((x一1)(t一1)＞0，x≠t)，函数f(x)由下列表达式确定，

[*]

显然x=1为间断点，连续区间(一∞，1)∪(1，+∞)．

[*]

所以x=1为无穷间断点．

解析：

4.已知A是正定矩阵，证明｜A+E｜＞1．

此题用特征值较简单．

设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A+E的特征值为λ₁+1，λ₂+1，…，λ_n+1．

因为A正定，所以λ_i＞0，λ_i+1＞1(i=1，2，…，n)．于是

｜A+E｜=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1．

解析：

5.求从点A(10，0)到抛物线y²＝4χ之最短距离．

抛物线上点P([*]，y)到A(10，0)的距离的平方(如图4．4)为d(y)＝[*]＋y²．

问题是求d(y)在[0，＋∞)上的最小值(d(y)在(－∞，＋∞)为偶函数)．

由于d′(y)＝[*]，

在(0，＋∞)解d′(y)＝0得y＝±[*]．

于是d(±[*])＝36，d(0)＝100．

又[*]d(y)在[0，＋∞)的最小值为36，即最短距离为6．

[*]

解析：

6.设f(x)=f(x-π)+sinx，且当x∈[0，π]时，f(x)=x，求

[*]

解析：

7.设f(x，y)=

因为[*]不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续．

因为[*]，所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导．

解析：

8.设y＝

令y＝[*]

由A(2χ－1)＋B(χ＋1)＝3－3χ得[*]解得A＝－2，B＝1，

[*]

解析：

9.设A=

(1)Aⁿ=A^n-2+A²-E即

A²-A^n-2=A²-E．

A^n-2(A²-E)=A²-E．

只要证明A(A²-E)=A²-E．此式可以直接检验：

[*]

A(A²-E)=[*]=A²-E．

(2)把Aⁿ=A^n-2+A²-E作为递推公式求Aⁿ．

n是偶数2k时：A^2k=A^2k-2+A²-E=A^2k+4+2(A²-E)=……=k(A²-E)+E．

n是奇数2k+1时：A^2k+1=AA^2k=A[k(A²-E)+E]=k(A²-E)+A．

解析：

10.设A为n阶矩阵，且A²-2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．

由A²-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E-A)+r(2E+A)=n．

解析：

11.求微分方程y\\

这是不显含y型的二阶微分方程y\\

解析：

12.设n阶非零实方阵A的伴随矩阵为A^*，且A^*=A本文档预览：3000字符，共7389字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载