考研数学二（解答题）模拟试卷389
解答题
1.求极限
原式[*]
解析：
2.求极限：
[*]
解析：
3.设z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求
一2f\\
解析：
4.证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．
不妨设f(x)在(a，b)内有定义，是单调递增的，x0∈(a，b)是f(x)的间断点．再设x∈(a，x0)，则x＜x0，由单调递增性知：f(x)＜f(x0)(为常数)，即f(x)在(a，x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x0一)=[*]f(x)≤f(x0)，式中“≤”处若取“=”号，则f(x)在x0左连续，反之点x0为f(x)的跳跃间断点，同理可证，当x＞x0时，单调增函数f(x)存在右极限f(x0+)≥f(x0)，f(x)或在x0右连续、或点x0为跳跃间断点．综合之，单调增函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，故若x0是f(x)的间断点，则x0一定是f(x)的第一类间断点．同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形．
解析：
5.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
因为f(x)在[a，b]上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点c使得
[*]
这就说明f(c)=f(b)．根据假设可得f(x)在[c，b]上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c，b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)[*](a，b)．
解析：
6.设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，2，2)T，η2=(2，－2，1)T，η3=(－2，－1，2)T，它们的特征值依次为1，2，3，求A．
建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法求解：
[*]
解析：
7.设f(x)在(a，b)四次可导，
由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f\\
解析：
8.设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
ξ∈(0，1)使得
令F(x)=[*]，由于
[*]
因此F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．
由于f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知，[*]η∈(0，1)使f’(η)=0．因此，F(η)=F(1)=0，对F(x)在[η，1]上利用罗尔定理得[*]∈(η，1)，使F’(ξ)=[*]=0，即
[*]
解析：
9.设有摆线
这是由参数方程给出的曲线，由于
x’(θ)=1一cosθ，y’(θ)=sinθ，
则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积
[*]
解析：
10.确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：
(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-
xsinx；
(Ⅱ)f(x)=
(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶．
原式=1+x+[*]+o(x3)-1-x-[*]x3+o(x3)，
所以x→0时ex-1-x-[*]xsinx是x的3阶无穷小．
(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶．
原式=1-[*]x4+o(x4)，
所以x→0时cosx+[*]cosx-1是x的4阶无穷小．
解析：
11.∫0nπχ｜cosχ｜dχ．
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