考研数学二（解答题）模拟试卷379

考研数学二（解答题）模拟试卷379

解答题

1.求

[*]

解析：

2.求正常数a、b，使

a=2，b=1

解析：

3.证明：当x∈

[*]

但是，2xcos x一2sin x+x³的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcos x一2sin x+x³，则g(0)=0，且g’(x)=x²+2x(x—sin x)＞0，所以，当x∈(0，[*])时，

g(x)=2xcos x一2sin x+x³＞0．

[*]

解析：

4.设A为n阶方阵(n≥2)，A^*为A的伴随矩阵，证明：

当秩(A)＝n时，｜A^*｜＝｜A｜^n-1≠0，故秩(A^*)＝n．当秩(A)＝n－1时，｜A｜＝0且A中至少有某个元素的代数余子式不等于零，[*]A^*≠O，[*]秩(A^*)≥1，再由A^*A＝｜A｜E＝O知，A的列向量均为方程组A^*χ＝0的解向量，[*]n－秩(A^*)≥秩(A)＝n－1，[*]秩(A^*)≤1，综合前已证过的秩(A^*)≥1，得秩(A^*)＝1．若秩(A)≤n－2，则A的每个元素的代数余子式都为零，[*]A^*＝O，[*]秩(A^*)＝0．

解析：

5.设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

因为B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B，所以B为n阶实对称矩阵．对于任意的实n维列向量x，有x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^T+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)．当x≠0时，x^Tx＞0，(Ax)^T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意实n维列向量x≠0，都有x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0．即B为正定矩阵．

解析：本题主要考查正定矩阵的判定方法．只要证明B为对称矩阵，且对任意的实n维列向量x，都有x^TBx＞0即可．

6.

[*]

解析：

7.∫₀^2π｜sinx-cosx｜dx

[*]

解析：

8.设f(x)=

[*]

解析：

9.设f(x)在(x₀-δ，x₀+δ)有n阶连续导数，且f^(k)(₀)=0，k=2，3，…，n-1；f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x₀+h)=f(x₀)=hf’(x₀+θh)，(0＜θ＜1)．求证：

这里m=1，求的是f(x₀+h)-f(x₀)=hf’(x₀+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x₀+θh)在x=x₀展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得

f’(x₀+θh)=f’(x₀)+f’’(x₀)θh+[*]f⁽³⁾(x₀)(θh)²+…+[*]f⁽ⁿ⁾(x₀)(θh)^n-1+o(h^n-1)

=f’(x₀)+[*]f⁽ⁿ⁾(x₀)(θh)^n-1+o(h^n-1)(h→0)，

代入原式得

(x₀+h)-f(x₀)=hf’(x₀)+[*]f⁽ⁿ⁾(x₀)θ^n-1hⁿ+o(hⁿ) ①

再将f(x₀+h)在x=x₀展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式

f(x₀+h)-f(x₀)=f’(x<

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