考研数学二（解答题）模拟试卷373
解答题
1.求
[*]
解析：
2.
因为当x→0时，[*]-1～x2，xln(1+2x)～2x2，
所以[*]
解析：
3.设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．
令x=0，y=0得f(0)=0．
[*]
f(x)=x2+ax+C，
由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．
解析：
4.已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=
由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。
若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤l，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故
Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2为任意常数。
若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。
①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T，k1为任意常数。
②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为
x=k1([*]，1，0)T+k2([*]，0，1)T，k1，k2为任意常数。
解析：
5.设f(x)在[0，2a]上连续，其中a＞0，f(0)=f(2a)．证明：方程f(x)=f(x+a)在[0，a]上至少有一个根．
令F(x)=f(x)一f(x+a)
解析：
6.设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=-2．f’(0)=1，f’’(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．
因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1．
当x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ξ)c，从而f(x)≥f(0)+x，因为[*][f(0)+x]=+∞，所以[*]f(x)=+∞．
由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=-2＜0，f(x)=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．
解析：
7.求圆弧x2+y2=a2(
将它表示为[*]
直接由旋转面的面积计算公式得
[*]
解析：
8.已知z＝f(u，v)，u＝x＋y，v＝xy，且f(u，v)的二阶偏导数都连续，求
f\\
解析：
9.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g\\
(1)设c∈(a，b)，g(C)=0．
由g(a)=g(C)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，
其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g\\
解析：
10.设
其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求
根据复合函数的求导公式，有[*]
解析：
11.计算
x=1为被积函数的无穷间断点，则
[*]
解析：
12.设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证明：Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆．
令B=(α1，α2，…，αn)，因为α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，所以r(B)=n．(Aα1，Aα2，…，Aαn)=AB，因为r(A
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