考研数学二（解答题）模拟试卷368

考研数学二（解答题）模拟试卷368

解答题

1.确定常数a，b，c的值，使

由于当χ→0时对[*]常数a，b都有aχ²＋bχ＋1－e^-2χ→0，又已知分式的极限不为零，所以当χ→0时必有分母[*]→0故必有c＝0．由于

[*]

故必有a＝4．综合得a＝4，b＝－2，c＝0．

解析：

2.

[*]

故由归结原则，[*]

解析：

3.设η₁，…，η_s是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k₁，…，k_s为实数，满足k₁+k₂+…+k_s=1．证明x=k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s也是它的解．

Ax=A(k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s)=k₁Aη₁+k₂Aη₂+…+k_sAη_s=k₁b+k₂b+…+k_sb=(k₁+k₂+…+k₃)b=b.所以x=k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s也是方程组Ax=b的解．

解析：

4.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．

设这次考试的考生成绩为X，则X～N(μ，σ²)．

H₀：μ=70，H₁：μ≠70，

[*]

经计算t=一1．4，

故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分．

解析：

5.设，其中ψ为可微函数，求

[*]．

解析：

6.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(x))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．

由微分中值定理，存在ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)，使得

[*]

因为点A，B，C共线，所以f’(ξ₁)=f’(ξ₂)，

又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得f’’(ξ)=0．

解析：

7.求y=f(x)=

因为[*]，所以y=f(x)没有水平渐近线，

[*]

得y=x+3为斜渐近线．

解析：

8.设二次型

f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²－2x₃²+2bx₁x₃，(b＞0)

其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．

(1)求a，b．

(2)用正交变换化f(x₁，x₂，x₃)为标准型．

(1)

[*]

由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(－2)=1，得a=1．

特征值之积=－12，即｜A｜=－12，而

[*]

得b=2(b＞0)．则

[*]

(2)

[*]

得A的特征值为2(二重)和－3(一重)．

对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－E)X=0的非零解．

[*]

得(A－2E)X=0的同解方程组x₁－2x₃=0，求出基础解系η₁=(0，1，0)^T，η₂=(2，0，1)^T．它们正交，单位化：α₁=η₁，α₂=[*]．

方程x₁－2x₃=0的系数向量(1，0，－2)^T和η₁，η₂都正交，是属于－3的一个特征向量，单位化得

[*]

作正交矩阵Q=(α₁，α_2<

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