考研数学二（解答题）模拟试卷377

考研数学二（解答题）模拟试卷377

解答题

1.

x→0时由1-cos^ax～

[*]

解析：

2.设向量组α₁=(1，3，2，0)^T，α₂=(7，0，14，3)^T，α₃=(2，一1，0，1)^T，α₄=(5，1，6，2)^T，α₅=(2，一1，4，1)^T，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把不是极大线性无关组的向量用此极大线性无关组线性表示．

令A=(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅)，对矩阵A作初等行变换，得

[*]

由此可得，r(A)=r(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅)=3，α₁,α₂,α₃是该向量组的一个极大线性无关组，于是

[*]

解析：本题考查向量组的线性相关性与极大线性无关组，解题时将向量组转化矩阵A，利用r(A)=A的列秩=A的行秩．

3.设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫₀^πf(x)sinxdx=0，∫₀^πcosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。

反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此，必有∫₀^π)sinxdx＞0(或＜0)。这与假设相矛盾。

如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x一a)同号，因此∫₀^πf(x)sin(x一a)dx≠0。但是，另一方面

∫₀^πf(x)sin(x一a)dx=∫₀^πf(x)(sinxcosa一cosxsina)dx

=cosa∫₀^πf(x)sinxdx一sina∫₀^πf(x)cosxdx=0。

这个矛盾说明f(x)也不可能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点。

解析：

4.设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．

(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；

(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[-a，a]，使得

(1)由[*]存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’(0)=0，

则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[*]x⁴，其中ξ介于0与x之间．

(2)上式两边积分得∫_-a^af(x)dx=[*]∫_-a^a(ξ)x⁴dx．

因为f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，

两边在[-a，a]上积分得[*]a⁵≤∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤[*]a⁵，

从而[*]∫_-a^a≤[*]≤∫_-a^-af(x)dx≤[*]

于是m≤[*]∫_-a^af(c)dx≤M，

根据介值定理，存在ξ₁∈[-a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=[*]∫_-a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ)=60∫_-a^af(x)dx.

再由积分中值定理，存在ξ₂∈[-a，a]，使得

a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析：

5.设f(x)在[-1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f’(0)=0，f’’(0)=4．求

[*]

对x＞0，有ln(1+x)＜ξ＜x[*]

所以原式=2．

解析：

6.设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)=f(ξ)=f(2)-2f(1)．

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