考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷17

考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷17

选择题

1.设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令P=(3α₂，-α₃，2α₁)，则P^-1AP等于( )．(C)

A. B. C. D. 解析：显然3α₂-α₃，2α₁也是特征值1，2，-1的特征向量，所以

2.设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．(D)

A. A，B相似于同一个对角矩阵

B. 存在正交阵Q，使得Q^TAQ=B

C. r(A)=r(B)

D. 以上都不对

解析：令

3.与矩阵(D)

A. B. C. D. 解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项D中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选D．

4.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．(D)

A. 存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B

B. 存在正交矩阵Q，使得Q^TAQ=B

C. A，B与同一个对角矩阵相似

D. 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．

填空题

5.设

-2．

解析：因为｜A^*｜=｜A｜²=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA^*=｜A｜E=2E，所以A^-1=1／2A^*，从而A^-1的特征值为-1／2，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为-2，-1，1，于是a₁₁+a₂₂+a₃₃=-2-1+1=-2．

6.设λ₁，λ₂，λ₃是三阶矩阵A的三个不同特征值，α₁，α₂，α₁分别是属于特征值λ₁，λ₂，λ₃的特征向量，若α₁，A(α₁+α₂)，A²(α₁+α₂+α₃)线性无关，则λ₁，λ₂，λ₃满足________．

λ₁λ₃²≠0．

解析：令x₁α₁+x₂A(α₁+α₂)+x₃A²(α₁+α₂+α₃)=0，即

(x₁+λ₁x₂+λ₁²x₃)α₁+(λ₂x₂+λ₂²x₃)α₂+λ₃²x₃α₃=0，

则有x₁+λ₁x₂+λ₁²x₃=0， λ₂x₂+λ₂²

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