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考研数学二(填空题)模拟试卷201

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考研数学二(填空题)模拟试卷201

填空题

1.不定积分∫

[*]

解析:

2.

1

解析:

3.已知当x→0时F(x)=∫0x-sin xln(1+t)dt是xn的同阶无穷小,则n=________.

6

解析:确定n>0使得

其中

ln[1+(x-sin x)]~x-sin x (x→0)

1-cos x~

4.f(x)=x2(x+1)2(x+2)2(x+3)2,则f″(0)=________.

72

解析:记g(x)=(x+1)2(x+2)2(x+3)2,则f(x)=x2g(x),f′(x)=2xg(x)+x2g′(x),f″(x)=2g(x)+4xg′(x)x2g″(x),所以f″(0)=2g(0)=72.

5.设f(x)=3x2+Ax-3(x>0),A为正常数,则A至少为________时,有f(x)≥20(x>0).

64

解析:为使f(x)≥20,只要3x5+A≥20x3即20x3-3x5≤A.设g(x)=20x3-3x5,则A至少是g(x)在(0,+∞)内的最大值.

g′(x)=60x2-15x4-15x3(4-x2)

6.I1∫cos4xdx=________,I2=∫sin4xdx=________.

[*]+C2,其中C1,C2为任意常数.

解析:I1+I2=∫[(sin2x+cos2x)2sin22x]dx

=∫[1-1/4(1-cos 4x)]dx=x+sin 4x+C3

I1-I2=∫(cps4x-sin4x)dx=∫cos 2xdx=sin 2x+C4

因此

I1=1/2[(I1+I2)+(I1-I2)]=+C1

I2=1/2[(I1+I2)-(I1-I2)]=

7.∫0+∞

ln 2

解析:作恒等变形后,对无穷积分作分部积分.

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