考研数学一（线性代数）模拟试卷176

考研数学一（线性代数）模拟试卷176

选择题

1.设A=(α₁，α₂，β₁)，B=(α₁，α₂，β₂)为两个三阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=3，则｜A+2B｜=( )．(A)

A. 72

B. -72

C. 36

D. -36

解析：由A+2B=(3α₁，3α₂，β₁+2β₂)得

｜A+2B｜=｜3α₁，3α₂，β₁+2β₂｜=9｜α₁，α₂，β₁+2β₂｜

=9(｜α₁，α₂，β₁｜+2｜α₁，α₂，β₂｜)

=9(｜A｜+2｜B｜)=72，

选A．

2.设n维行向量α=(1／2，0，…，0，1／2)，A=E-α^Tα，B=E+2α^Tα，则AB=( )．(C)

A. O

B. -E

C. E

D. E+α^Tα

解析：由αα^T=1／2，得AB=(E-α^Tα)(E+2α^Tα)=E，选C．

3.设A为四阶非零矩阵，且r(A^*)=1，则( )．(C)

A. r(A)=1

B. r(A)=2

C. r(A)=3

D. r(A)=4

解析：因为r(A^*)=1，所以r(A)=4-1=3，选C．

4.设α₁，α₂，α₃线性无关，β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，β₂不可由α₁，α₂，α₃线性表示，对任意的常数k有( )．(A)

A. α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关

B. α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性相关

C. α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性无关

D. α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性相关

解析：因为β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，β₂不可由α₁，α₂，α₃线性表示，所以kβ₁+β₂一定不可以由向量组α₁，α₂，α₃线性表示，所以α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₁线性无关，选A．

5.设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α₁，α₂，又λ=-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α₃，下列向量中是A的特征向量的是( )．(D)

A. α₁+α₃

B. 3α₃-α₁

C. α₁+2α₂+3α₃

D. 2α₁-3α₂

解析：因为AX=0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α₁，α₂为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α₁+α₃为属于特征值λ₀的特征向量，则有A(α₁+α₃)=λ₀(α₁+α₃)，注意到A(α₁+α₃)=0α₁-2α₃=-2α₃，故-2α₃=λ₀(α₁+α₃)，即λ₀α₁+(λ₀+2)α₃=0．

因为α₁，α₃线性无关，所以有λ₀=0，λ₀+2=0，矛盾，故α₁+α₃不是特征向量，同理可证3α₃-α₁及α₁+2α₂+3α₃也不是特征向量，显然2α₁-3α₂为特征值0对应的特征向量，选D．

6.设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．(D)

A. A，B合同

B. A，B相似

C. 方程组AX=0与BX=0同解

D. r(A)=r(B)

解析

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